Asignación 2

Sensor capacitivo diferencial conectado a un amplificador de alterna diferencial y Sensor capacitivo diferencial basado en una placa que gira respecto a otra fija con un amplificador de alterna.

Problema #1.

Para mantener una pieza centrada entre dos superficies paralelas, un determinado servosistema emplea un sensor capacitivo diferencial conectado al acondicionador de señal de la figura 1.1. La pieza metálica está puesta a masa y cuando se aparta de un electrodo se acerca al otro una distancia igual. ¿Qué relaciones deben cumplir los componentes pasivos del circuito para que la tensión de salida dependa de la posición de la pieza central pero sea independiente de la frecuencia de la tensión aplicada al sensor?.

Figura 1. Sensor capacitivo diferencial conectado a un amplificador de alterna diferencial

Solución:

Fundamentación Teórica

Sensor de tipo capacitivo: Consiste en dos conductores variables dispuestos físicamente de tal modo que experimentan el mismo cambio pero en sentidos opuestos. Esta formado por dos placas paralelas separadas por un dieléctrico,

Donde A es el área de las placas, d es la separación de placas, e es una constante que depende del material existente entre las placas (esto asume que la circunferencia de las placas es mucho mayor que la separación entre ellas, de manera que el efecto de borde se puede ignorar).

Amplificador diferencial: Mediante el amplificador diferencial se miden y amplifican pequeñas señales que están ocultas dentro de señales mayores. La salida del amplificador diferencial v es proporcional a la diferencia del voltaje aplicado a las entradas (+) y (-). El voltaje de salida del amplificador es:

(1)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

Zid = 2RI ( 2)
Zo = 0 (3)

Figura 1.1.Amplificador Diferencial

Amplificador Inversor: Es uno de los amplificadores operacionales mas utilizados. Es un amplificador cuya ganancia en lazo cerrado desde Ei a Vo, esta definida por RI y RF, además puede amplificar señales de ca o cd. El voltaje de salida del amplificador es:


(4)

ppppppppppppppppppppp
Zi= RI _______(5)
Zo= 0 _______(6)

Figura 1.3.Amplificador Inversor

2.- Análisis matemático del circuito:

En el circuito de la figura 1 se observa que en el condensador diferencial, se puede obtener Vx y Vy aplicando divisor de tensión:

(7)

(8)

Ahora aplicando el teorema de thevenin, obtenemos la impedancia Zx y Zy,

Figura 1.4. Sensor Capacitivo

Entonces:

(9)


Multiplicamos y dividimos por j en la ecuación (9) para eliminar el signo menos, y sustituimos c= cx+cy:

Luego:

(10)

Con respecto a los amplificadores de entrada, estos se comportan como un amplificador inversor, por lo tanto el voltaje de salida en cada uno de ellos es el siguiente:

(11)

Sustituyendo el valor de vx y Zx en la ecuación (11), obtenemos:

(12)

El procedimiento anterior aplica para el voltaje V02, por lo tanto:

(13)

Para simplificar la ecuación del voltaje de salida del amplificador diferencial se asume lo siguiente:

Se elige c1 = c2 = C

Entonces el voltaje de salida será:

(14)

Sustituyendo (12) y (13) en (14), obtenemos:

Sustituyendo c1= c2 = C en la ecuación anterior:

(15)


Ahora si se desprecia el efecto de borde, el valor de los elementos del condensador diferencial formado por dos condensadores de placas paralelas con área A es:


(16)



(17)


Sustituyendo (16) y (17) en la ecuación (15), obtenemos:

(18)

Conclusión:

Esta tensión de salida es independiente de la frecuencia, pero depende del desplazamiento de la pieza móvil de forma no lineal.

Problema #2

La figura muestra un sensor capacitivo diferencial angular, formado por cuatro placas semicirculares. Dos placas coplanares son fijas mientras que las dos del otro plano horizontal pueden girar respecto al eje vertical. El sensor contiene, pues, cuatro condensadores, que en la posición de reposo (θ=00) son iguales. El ángulo girado puede variar entre π/2 y -π/2. Si se desprecian los efectos de bordes,¿cómo deben disponer los cuatro condensadores en un puente de alterna para que la amplitud de la tensiòn de salida del puente sea directamente proporcional al ángulo girado θ? El radio de las placas es de 2.5cm, su separación 0.5mm y el dieléctrico aire. El circuito de acondicionamiento conectado al puente es el que se muestra en la figura 2.2, si el puente se alimenta con una tensiòn senoidal de 10kHz,¿Qué valor debe tener R? Si se tiene en cuenta el límite en la velocidad de salida (slew rate) de los amplificadores operacionales empleados, ¿Cuál es el valor máximo admisible para la tensiòn de alimentación del puente para que no se distorsione la forma de onda?

Figura2-a, amplificador de alterna

Figura2.b Sensor capacitivo diferencial basado en una placa que gira respecto a otra fija

Solución:

Fundamentaciòn Teórica

Sensor de tipo capacitivo: Consiste en dos conductores variables dispuestos físicamente de tal modo que experimentan el mismo cambio pero en sentidos opuestos.

Donde A es el área de las placas, d es la separación de placas, e es una constante que depende del material existente entre las placas (esto asume que la circunferencia de las placas es mucho mayor que la separación entre ellas, de manera que el efecto de borde se puede ignorar).

Amplificador de instrumentación: es uno de los amplificadores màs útiles, precisos y versatiles de que se dispone en la actualidad. Esta formado por por tres amplificadores operacionales y siete resistencias. Presenta las siguientes caracteristicas:

• La ganancia de voltaje, desde la entrada diferencial (E1-E2) a la salida simple, se define por medio de una resistencia.
• La resistencia de entrada de las entradas es muy alta y no cambia aunque se varie la ganancia.
• Vo no depende del voltaje común de E1 y E2 (voltaje de modo común), sólo de su diferencia.

Puente de alterna: es una consecuencia del puente de cd y su forma básica consiste en un puente de cuatro ramas, una fuente de excitación y un detector de cero. La fuente de potencia suministra un voltaje de ca al puente con la frecuencia deseada. Para mediciones a bajas frecuencias, la línea de potencia puede servir como fuente de excitación; a altas frecuencias, generalmente un oscilador es el que suministra el voltaje de la excitación.

2.- Análisis matemático del circuito:

Se observa que en el sensor capacitivo diferencial, los cuatro semicírculos forman cuatro condensadores de los que dos aumentan de valor cuando la placa superior gira en sentido horario y los otros dos disminuyen en igual magnitud.
Si se desprecian los efectos de bordes y la separación entre los dos semicírculos de cada placa es muy pequeña, el área de los electrodos de cada condensador cuando θ=00 es:

ΠR2/4

Donde R es el radio.

Continuando con la evaluación de los ángulos de giro obtenemos:
Para θ=π/2

A1= A3=0

A2=A4= ΠR2/2

Para θ=-π/2

A1= A3= ΠR2/2

A2=A4=0

Así pues, la capacidad de cada condensador en función del ángulo girado es:

(1)




(2)


La ecuación general para el equilibrio del puente capacitivo se obtiene utilizando la notación compleja para las impedancias del circuito puente.

Figura 2c, Puente formado por los cuatro condensadores

(3)

Por la condición de equilibrio, la corriente es:

(4)



(5)

pppppppppppppppppp

Sustituyendo (4) y (5) en (3)

(6)

Entonces se debe cumplir que Z1*Z3= Z4*Z2, para que se cumpla la igualdad de la ecuación (6), ahora aplicando divisor de tensiòn en el puente capacitivo se obtiene lo siguiente:

(7)

(8)

Luego la tensión de salida en el puente esta dada por:

(9)

Sustituyendo el valor de las capacitancias de las ecuaciones (1) y (2) en (9):

Sacando factor común el término:

de la ecuación anterior, desarrollando y simplificando obtenemos lo siguiente:


(10)

Figura 2d, circuito equivalente del Puente formado por los cuatro condensadores.

Las resistencias R permiten polarizar las entradas de los amplificadores operacionales porque, la impedancia de salida equivalente del puente es capacitiva y no permite el paso de dichas corrientes, formándose de esta manera un filtro paso alto para cada salida del puente, cuya frecuencia de corte debe ser suficientemente pequeña para que la frecuencia de corte debe ser suficientemente pequeña para que la frecuencia portadora pase el filtro sin atenuación considerable.

Por lo tanto, partiendo de los valores de cada condensador se obtiene:

c1+c2=c3+c4= 2c0

Sustituyendo los datos numéricos del sensor:

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttt

ttttttttttttttttttttttttttttt

Si se elige una frecuencia de corte 10 veces menor que la portadora, el valor màximo de R es:

Si se elige R = 10MΩ, este sería el valor suficiente para polarizar un amplificador operacional con entrada FET.

El límite en la velocidad de salidad de los amplificadores operacionales puede afectar a aquel cuya salida tenga la máxima amplitud, que será último. El valor máximo de la salida se obtendrá cuando θ = π/2. la salida del puente es entonces Vs = Va, y la tensión de salida del amplificador de instrumentación es Vo = 3Va. La velocidad límite del TK074 es 13 V/μft, de modo que si
Va = Vp*sen πft deberá cumplirse:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

Si f = 10KHz, el límite es Vp = 138 V, que no es en absoluto exigente.

Conclusión:

1. La conexión en puente implica que la salida depende de la diferencia entre capacidades, de modo que se pueden compensar en parte algunos efectos de bordes.
2. La frecuencia de corte elegida para diseñar R supondrá una cierta atenuación de las interferencias de 50 Hz y armónicos.
3. El CMRR del circuito de la figura 3.4b será pequeño debido al valor relativamente bajo de la impedancia de entrada en modo común (R) y a la tolerancia de R. Una forma simple de mejorar el CMRR es desconectar el punto de conexión de las dos resistencias de masa, y conectarlo a masa a través de una resistencia de valor elevado (pero suficientemente pequeña para seguir permitiendo la polarización.)

Aplicación de un sensor de humedad en la electrónica de comunicaciones.

PROBLEMA

Desde un computador se necesita monitorizar la humedad de un entorno, y para ello se diseña un periférico que permita su medida. Se utiliza el sensor de humedad 2322-691-90001 de Philips, cuyas hojas características están anexas.

Se utiliza el circuito oscilador de la figura #1, basado en el multivibrador LM331, para generar una señal TTL con frecuencia inversamente proporcional a la capacidad del sensor.

......................................... Figura 1, estructura interna del LM331


La frecuencia del oscilador se mide a través de una tarjeta contador insertada en el computador. Esta tarjeta dispone de dos contadores de 16 bits. El primero cuenta los ciclos del oscilador que contiene el sensor, mientras que el segundo cuenta los ciclos de un reloj patrón de frecuencia 100kHz.

Estos controladores se controlan desde el ordenador mediante los siguientes procedimientos y funciones en pascal:

Procedure Reset; (* pone simultáneamente a cero ambos contadores e inicia la cuenta *).
Pocedure Hola; (* bloquea el estado de cuenta de ambos contadores al valor que tienen *).
Function Cuenta_1: Word; (* retorna el estado de cuenta del contador 1*)
Function Cuenta_2: Word; (* retorna el estado de cuenta del contador 2*)

A fin de conseguir la funcionalidad buscada, estudiar los siguientes aspectos:

1. Realizar el diseño completo del circuito oscilador (esto es, justificando cuantitativamente cada componente y cada tensión de alimentación del circuito) y proponer la expresión de la frecuencia del oscilador (f0) en función del %humedad (h).

2. Proponer un programa de ordenador que implemente la función humedad.
Function Humedad: real; (* que retorna el tanto por ciento de humedad del entorno*).

Determinar la resolución mínima del sistema de medida de la humedad que resulta como consecuencia de la discretizaciòn que introduce el contador

3. Cual es el % de linealidad del sistema de medida. Justificar el resultado detallando los datos numéricos en los que se basa el resultado que se estima.

4. A fin de establecer la incertidumbre de la medida del equipo. Se utiliza una cámara cuya humedad se mantiene aproximadamente al 50%. Y se realizan sobre ella un conjunto de 10 medidas que se consideren estadísticamente significativas. Las medidas que se consideran son aquellas en la que a través de una medida simultánea obtenida con un girómetro patrón se ha comprobado que la humedad de la cámara es del 50%. En la hoja de calibración del girómetro patrón se certifica que su incertidumbre para el 95% de confianza es de un 0.1% de humedad.

Tabla 1. Valores obtenidos con el higrometro patrón

Determinar a partir de estos datos experimentales la incertidumbre de la medida de la humedad por el sistema diseñado, para un nivel de 50% de humedad y relativa a un nivel de confianza del 955 (k=2).

Para la resolución de este problema se deben manejar o conocer los siguientes
conceptos fundamentales:

1. Desviación estándar experimental: Representa la dispersión absoluta de los resultados de una medida obtenida a partir de una serie de mediciones de una misma magnitud.

2. Higrómetro: Dispositivo para la medición del contenido de humedad de los materiales. Se utiliza para los dispositivos medidores del contenido de humedad de las soleras y de la humedad relativa

3. Incertidumbre: La guía ISO 3534-1 [ISO 1993], define incertidumbre como “una estimación unida al resultado de un ensayo que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma que está el valor verdadero”. La incertidumbre de la medida es la dispersión de los valores que pueden ser atribuidos razonablemente al verdadero valor de la magnitud medida.

4. Proceso de discretización: Es la codificación de un valor analógico mediante un código numérico, sin embargo con este proceso se introduce ruido que degrada la información que transfiere.

5. Proceso de Muestreo: Es el proceso por los que los infinitos valores de una señal contínua en el tiempo se representan mediante una secuencia finita de valores que corresponden a los valores de la señal en un conjunto finito de instantes. Esto implica la pérdida de los valores de los infinitos instantes intermedios.

6. Regresión lineal: Cuando el modelo estimulo respuesta es del tipo lineal, el problema se plantea buscando la ecuación de la recta que mejor aproxima la nube de puntos, y a este proceso se le conoce como regresión lineal.

7. Linealidad: la aproximación de una curva de calibración a una línea recta especificada.

8. Resolución: Es el rango de entrada que corresponden a cada código de salida. Se denomina 1-LSB (rango que corresponde a la variación del bit menos significativo).
Magnitud de los cambios en escalón de la señal de salida (expresados en tanto por ciento de la salida de toda la escala) al ir variando continuamente la medida en todo el campo.

9. Respuesta Frecuencial: variación con la frecuencia de la relación de amplitudes señal de salida/variable medida (y de la diferencia de fases entre la salida y la variable medida) para una medida de variación senoidal aplicada a un instrumento dentro de un campo establecido de frecuencias de la variable medida.

10. Transductor: reciben una señal de entrada función de una o más cantidades físicas y la convierten modificada o no a una señal de salida.

11. Sensibilidad: es la razón entre el incremento de la lectura y el incremento de la variable que la ocasiona, después de haberse alcanzado el estado de reposo.

SOLUCIÓN:

1. Diseño del circuito oscilador

Para realizar el diseño del circuito oscilador, se parte del análisis del transductor, a través de la hoja característica del fabricante, de la cual obtenemos los siguientes datos:

T = 25ºC C(43%) = 122 pF ± 15%

ΔC(43%) = 0.4 ± 0.05%

Partiendo de esta información se obtiene una ecuación que permite caracterizar al transductor:

C(h) = 122 + 0.4 (h - 43%) pF (1)

Sin embargo también es posible hacer la caracterización a través de la curva característica de humedad y capacitancia relativa.

La siguiente tabla muestra algunos de los valores que fueron tomados de la curva característica y con los cuales se trabajara.

Aplicando regresión lineal mediante la siguiente expresión:

Y= ax+b

Donde a y b se obtienen de la siguiente manera:

Haciendo la analogía con lo que se tiene:

C la representa la variable y, y la variable x seria h, de esta forma se tiene lo siguiente:

C= a*h+b (1)

Pero sabemos que

a = 0.4pf/% (2)

b = 104.9pf (3)

Entonces sustituyendo (2) y (3) en (1):

C = 0.4*h(%)+104.9pf

Los valores extremos que resultan de esta estimación son:

Para h = 0% el valor de C = 104.9pf

Para h = 100% el valor de C = 144.9pf

Luego de tener la ecuación de forma lineal pasamos a diseñar el oscilador:
Dado que la expresión de la frecuencia de oscilación es:

Se eligen los componentes de forma tal que cuando la capacidad CT sea mínima, la frecuencia sea la máxima de 100 kHz, y lograr conseguir con ello la máxima resolución

Para la selección de componentes

Fuentes de alimentación:
Fuente de alimentación continua de 5v, Vss = 5v, la tensión de control Vc será una de valor constante de 2.5v, con R1 = R2 = 12kΩ

La resistencia RC se asume compatible con los niveles de tensión de salida TTL, RC = 680Ω
La fuente interna de intensidad se controla a un valor típico de 1mA

I0 = 1mA, por lo que Rs = 1.9v/ 1mA = 1.9kΩ.

Luego se busca un oscilador que genere una señal cuadrada, es decir:
T0 = 5μs cuando f = 100kHz.

Esto se obtiene de la siguiente manera:
T0 = 1.1Rt*Ct (4)

Despejando Rt y Ct se obtiene:
Rt = 43.3kΩ

La capacidad CL se escoge buscando que las variaciones de tensión en Vx sean despreciables frente a su valor de continua Vx =2.5v. Así se elige CL de forma que ΔVx ≈ 0.1 V.

Finalmente se fija la resistencia RL para que la frecuencia sea de 100kHz

La expresión de la frecuencia f del oscilador en función de la humedad h es:

..............................................................................................................................................................

2.- Proponer un programa de ordenador que interprete la función de humedad:
Para la realización del programa de la función humedad se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:

a.- La frecuencia máxima es de 100kHz, y los contadores son de 16 bits, por lo que el máximo tiempo de cuenta puede ser: 65536*10-5s = 0.65s. Se elige un tiempo de 500ms de cuenta para no exceder el límite de tiempo permitido.

b.- La frecuencia del oscilador se puede obtener en función de la frecuencia del reloj patrón de 100KHz y de la relación de cuenta de ambos contadores:

fosc = (100.00*cuenta_1)/cuenta_2
En función de estas consideraciones se elige Pascal para la codificación del algoritmo de la función humedad el cual es el siguiente:
Function Humedad: real;
begin
Reset;
Delay(500)
Hold;
Humedad: = ((106*cuenta_2)/(cuenta_1-104.9))/0.4
end.

La resolución del sistema como consecuencia de la discretizaciòn de los contadores se puede calcular como la mitad de la variación de la estimación de la humedad cuando cambia en uno el estado de cuenta.

La resolución = (100.0094-99.9995)/2

3.- Cálculo de la linealidad:

Los cálculos de la linealidad están explícitos en la siguiente tabla, donde se observa que dentro del rango del 10% a 90% de humedad el % de linealidad llega a alcanzar el 27.54%.

4.- Incertidumbre del equipo:

Para realizar el cálculo de la incertidumbre se puede hacer partiendo de dos componentes, de la dispersión de datos que se obtienen en la calibración y de la incertidumbre del sistema patrón en que se calibra, es decir:

a.- Análisis de la dispersión de datos:

Se calcula la desviación estándar de los resultados de medida:

hmedida = 50.00

b.- Incertidumbre en el patrón:
Dado que esta certificado para una incertidumbre de 0.1 (k=2), tenemos que:

Luego la incertidumbre del equipo será:

................................................................................................................................

CONCLUSIONES

Para realizar diseños de aplicaciones a nivel industrial, se debe tener muy claro lo que se quiere, como se quiere y hasta donde podemos llegar con los componentes o dispositivos que nos ofrece el mercado, por supuesto dándole la utilidad correcta a los mismos. Ejemplo de ello es esta interesante aplicación.

BIBLIOGRAFÍA

[1] CREUS, Antonio “Instrumentación Industrial”.

Alfa Omega (marcombo). Global Ediciones, 6ta Edición.

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