Asignación 2

Sensor capacitivo diferencial conectado a un amplificador de alterna diferencial y Sensor capacitivo diferencial basado en una placa que gira respecto a otra fija con un amplificador de alterna.

Problema #1.

Para mantener una pieza centrada entre dos superficies paralelas, un determinado servosistema emplea un sensor capacitivo diferencial conectado al acondicionador de señal de la figura 1.1. La pieza metálica está puesta a masa y cuando se aparta de un electrodo se acerca al otro una distancia igual. ¿Qué relaciones deben cumplir los componentes pasivos del circuito para que la tensión de salida dependa de la posición de la pieza central pero sea independiente de la frecuencia de la tensión aplicada al sensor?.

Figura 1. Sensor capacitivo diferencial conectado a un amplificador de alterna diferencial

Solución:

Fundamentación Teórica

Sensor de tipo capacitivo: Consiste en dos conductores variables dispuestos físicamente de tal modo que experimentan el mismo cambio pero en sentidos opuestos. Esta formado por dos placas paralelas separadas por un dieléctrico,

Donde A es el área de las placas, d es la separación de placas, e es una constante que depende del material existente entre las placas (esto asume que la circunferencia de las placas es mucho mayor que la separación entre ellas, de manera que el efecto de borde se puede ignorar).

Amplificador diferencial: Mediante el amplificador diferencial se miden y amplifican pequeñas señales que están ocultas dentro de señales mayores. La salida del amplificador diferencial v es proporcional a la diferencia del voltaje aplicado a las entradas (+) y (-). El voltaje de salida del amplificador es:

(1)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

Zid = 2RI ( 2)
Zo = 0 (3)

Figura 1.1.Amplificador Diferencial

Amplificador Inversor: Es uno de los amplificadores operacionales mas utilizados. Es un amplificador cuya ganancia en lazo cerrado desde Ei a Vo, esta definida por RI y RF, además puede amplificar señales de ca o cd. El voltaje de salida del amplificador es:


(4)

ppppppppppppppppppppp
Zi= RI _______(5)
Zo= 0 _______(6)

Figura 1.3.Amplificador Inversor

2.- Análisis matemático del circuito:

En el circuito de la figura 1 se observa que en el condensador diferencial, se puede obtener Vx y Vy aplicando divisor de tensión:

(7)

(8)

Ahora aplicando el teorema de thevenin, obtenemos la impedancia Zx y Zy,

Figura 1.4. Sensor Capacitivo

Entonces:

(9)


Multiplicamos y dividimos por j en la ecuación (9) para eliminar el signo menos, y sustituimos c= cx+cy:

Luego:

(10)

Con respecto a los amplificadores de entrada, estos se comportan como un amplificador inversor, por lo tanto el voltaje de salida en cada uno de ellos es el siguiente:

(11)

Sustituyendo el valor de vx y Zx en la ecuación (11), obtenemos:

(12)

El procedimiento anterior aplica para el voltaje V02, por lo tanto:

(13)

Para simplificar la ecuación del voltaje de salida del amplificador diferencial se asume lo siguiente:

Se elige c1 = c2 = C

Entonces el voltaje de salida será:

(14)

Sustituyendo (12) y (13) en (14), obtenemos:

Sustituyendo c1= c2 = C en la ecuación anterior:

(15)


Ahora si se desprecia el efecto de borde, el valor de los elementos del condensador diferencial formado por dos condensadores de placas paralelas con área A es:


(16)



(17)


Sustituyendo (16) y (17) en la ecuación (15), obtenemos:

(18)

Conclusión:

Esta tensión de salida es independiente de la frecuencia, pero depende del desplazamiento de la pieza móvil de forma no lineal.

Problema #2

La figura muestra un sensor capacitivo diferencial angular, formado por cuatro placas semicirculares. Dos placas coplanares son fijas mientras que las dos del otro plano horizontal pueden girar respecto al eje vertical. El sensor contiene, pues, cuatro condensadores, que en la posición de reposo (θ=00) son iguales. El ángulo girado puede variar entre π/2 y -π/2. Si se desprecian los efectos de bordes,¿cómo deben disponer los cuatro condensadores en un puente de alterna para que la amplitud de la tensiòn de salida del puente sea directamente proporcional al ángulo girado θ? El radio de las placas es de 2.5cm, su separación 0.5mm y el dieléctrico aire. El circuito de acondicionamiento conectado al puente es el que se muestra en la figura 2.2, si el puente se alimenta con una tensiòn senoidal de 10kHz,¿Qué valor debe tener R? Si se tiene en cuenta el límite en la velocidad de salida (slew rate) de los amplificadores operacionales empleados, ¿Cuál es el valor máximo admisible para la tensiòn de alimentación del puente para que no se distorsione la forma de onda?

Figura2-a, amplificador de alterna

Figura2.b Sensor capacitivo diferencial basado en una placa que gira respecto a otra fija

Solución:

Fundamentaciòn Teórica

Sensor de tipo capacitivo: Consiste en dos conductores variables dispuestos físicamente de tal modo que experimentan el mismo cambio pero en sentidos opuestos.

Donde A es el área de las placas, d es la separación de placas, e es una constante que depende del material existente entre las placas (esto asume que la circunferencia de las placas es mucho mayor que la separación entre ellas, de manera que el efecto de borde se puede ignorar).

Amplificador de instrumentación: es uno de los amplificadores màs útiles, precisos y versatiles de que se dispone en la actualidad. Esta formado por por tres amplificadores operacionales y siete resistencias. Presenta las siguientes caracteristicas:

• La ganancia de voltaje, desde la entrada diferencial (E1-E2) a la salida simple, se define por medio de una resistencia.
• La resistencia de entrada de las entradas es muy alta y no cambia aunque se varie la ganancia.
• Vo no depende del voltaje común de E1 y E2 (voltaje de modo común), sólo de su diferencia.

Puente de alterna: es una consecuencia del puente de cd y su forma básica consiste en un puente de cuatro ramas, una fuente de excitación y un detector de cero. La fuente de potencia suministra un voltaje de ca al puente con la frecuencia deseada. Para mediciones a bajas frecuencias, la línea de potencia puede servir como fuente de excitación; a altas frecuencias, generalmente un oscilador es el que suministra el voltaje de la excitación.

2.- Análisis matemático del circuito:

Se observa que en el sensor capacitivo diferencial, los cuatro semicírculos forman cuatro condensadores de los que dos aumentan de valor cuando la placa superior gira en sentido horario y los otros dos disminuyen en igual magnitud.
Si se desprecian los efectos de bordes y la separación entre los dos semicírculos de cada placa es muy pequeña, el área de los electrodos de cada condensador cuando θ=00 es:

ΠR2/4

Donde R es el radio.

Continuando con la evaluación de los ángulos de giro obtenemos:
Para θ=π/2

A1= A3=0

A2=A4= ΠR2/2

Para θ=-π/2

A1= A3= ΠR2/2

A2=A4=0

Así pues, la capacidad de cada condensador en función del ángulo girado es:

(1)




(2)


La ecuación general para el equilibrio del puente capacitivo se obtiene utilizando la notación compleja para las impedancias del circuito puente.

Figura 2c, Puente formado por los cuatro condensadores

(3)

Por la condición de equilibrio, la corriente es:

(4)



(5)

pppppppppppppppppp

Sustituyendo (4) y (5) en (3)

(6)

Entonces se debe cumplir que Z1*Z3= Z4*Z2, para que se cumpla la igualdad de la ecuación (6), ahora aplicando divisor de tensiòn en el puente capacitivo se obtiene lo siguiente:

(7)

(8)

Luego la tensión de salida en el puente esta dada por:

(9)

Sustituyendo el valor de las capacitancias de las ecuaciones (1) y (2) en (9):

Sacando factor común el término:

de la ecuación anterior, desarrollando y simplificando obtenemos lo siguiente:


(10)

Figura 2d, circuito equivalente del Puente formado por los cuatro condensadores.

Las resistencias R permiten polarizar las entradas de los amplificadores operacionales porque, la impedancia de salida equivalente del puente es capacitiva y no permite el paso de dichas corrientes, formándose de esta manera un filtro paso alto para cada salida del puente, cuya frecuencia de corte debe ser suficientemente pequeña para que la frecuencia de corte debe ser suficientemente pequeña para que la frecuencia portadora pase el filtro sin atenuación considerable.

Por lo tanto, partiendo de los valores de cada condensador se obtiene:

c1+c2=c3+c4= 2c0

Sustituyendo los datos numéricos del sensor:

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttt

ttttttttttttttttttttttttttttt

Si se elige una frecuencia de corte 10 veces menor que la portadora, el valor màximo de R es:

Si se elige R = 10MΩ, este sería el valor suficiente para polarizar un amplificador operacional con entrada FET.

El límite en la velocidad de salidad de los amplificadores operacionales puede afectar a aquel cuya salida tenga la máxima amplitud, que será último. El valor máximo de la salida se obtendrá cuando θ = π/2. la salida del puente es entonces Vs = Va, y la tensión de salida del amplificador de instrumentación es Vo = 3Va. La velocidad límite del TK074 es 13 V/μft, de modo que si
Va = Vp*sen πft deberá cumplirse:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

Si f = 10KHz, el límite es Vp = 138 V, que no es en absoluto exigente.

Conclusión:

1. La conexión en puente implica que la salida depende de la diferencia entre capacidades, de modo que se pueden compensar en parte algunos efectos de bordes.
2. La frecuencia de corte elegida para diseñar R supondrá una cierta atenuación de las interferencias de 50 Hz y armónicos.
3. El CMRR del circuito de la figura 3.4b será pequeño debido al valor relativamente bajo de la impedancia de entrada en modo común (R) y a la tolerancia de R. Una forma simple de mejorar el CMRR es desconectar el punto de conexión de las dos resistencias de masa, y conectarlo a masa a través de una resistencia de valor elevado (pero suficientemente pequeña para seguir permitiendo la polarización.)